10. Пусть тянется дорога (черт. 1) и на ней расположено какое-либо место A; по дороге идет путешественник, и известно, что он в настоящий момент находится на расстоянии 7 верст от места A. Оказывается, что, несмотря на данное число (7 верст), мы затруднимся указать, где именно находится путешественник, так как существуют два места, расположенные на этой дороге на расстоянии 7 верст от A: одно вправо и другое влево. Поэтому недостаточно данного числа 7 верст и необходимо еще сделать добавление: вправо или влево.
Точно такое же затруднение встретится, если на прямой линии потребуют отметить точку, отстоящую от данной точки A (черт. 1) на расстоянии 3 сантиметров: мы не знаем, в какую сторону от A отложить 3 сантим. вправо или влево, и для того, чтобы задача сделалась определенной, надо к числу 3 сантиметра добавить: вправо или влево.
Условимся, вместо того, чтобы к данному числу добавлять слово вправо, ставить перед этим числом знак + (плюс) и вместо слова влево ставить знак – (минус). Тогда легко решаются задачи:
На данной прямой отметить точку, отстоящую от данной точки A
1) на +4 см, 2) на –3 см, 3) на см, 4) на + 3,6 сантим. Таким образом появляются числа со знаками или относительные числа.
Существует еще много вопросов, где удобно пользоваться теми же знаками + и –.
Условились (это условие принято всем цивилизованным человечеством) ставить знак + перед числом градусов, выражающим температуру, если ртуть в термометре стоит выше нуля и знак –, если она стоит ниже нуля.
Указать на шкале термометра, где стоит ртуть в термометре, если температура
1) = +16°; 2) = –3°; 3) = 0; 4) = °; 5) = °.
Вот еще несколько вопросов, в которых числа со знаками дают возможность сокращения слов.
1) Игрок играет; результат его игры может быть двоякий: или он выигрывает, или он проигрывает. Условимся обозначать знаком + выигрыш и знаком – проигрыш. (Это условие согласуется с нашим обычным представлением о сложении арифметических чисел. (См. еще вопрос 4.))
Объяснить следующие обозначения:
Результат игры игрока: a) = –2 руб.; b) = +4 руб.; c) = 0; d) = –6 руб. 50 коп.; e) = +5,25 руб.
2) Купец торгует; результатом его торговли может быть или прибыль или убыток; прибыль обозначают знаком + и убыток – знаком –.
Что получил купец от торговли, если результат ее оказался: a) = – 42 руб.; b) = +106 руб; c) = –11 коп.; d) = 0?
3) Время от известного момента можно считать вперед и назад; будущее время (или время после известного момента) обозначают знаком + и прошедшее (или до известного момента) знаком –.
От рождества христова до известного события прошло: a) +1908 лет; b) –480 лет; c) +33 года; d) –XII веков. Когда произошло событие?
4) Состав класса в течение года может изменяться; в него могут вступить вновь несколько учеников и могут, с другой стороны, выбыть несколько учеников. Увеличение состава класса станем обозначать знаком + и уменьшение знаком – (здесь намечается, почему для обозначения смысла чисел употребляются те же знаки + и –, которыми в арифметике обозначаются сложение и вычитание.
Объяснить значение выражений: a) класс изменился на +4 ученика; b) в течение года класс изменился на –3 ученика.
Всякое относительное число состоит из двух частей:
- из самого арифметического числа, которое называется абсолютною величиною алгебраического числа и
- из знака.
Числа, имеющие знак +, называются положительными, а имеющие знак –, называются отрицательными.
Числа +5 и –5 имеют одинаковую абсолютную величину (5) и отличаются друг от друга знаками.
Говорят, что, напр., число +7 состоит из 7 положительных единиц, а число –6 состоит из 6 отрицательных единиц.
Часто у положительных чисел знак + впереди опускают: пишут 5 вместо +5 и т. п. Этим условием, в сущности, выражается то, что арифметические числа считают совпадающими с положительными.