53. Примеры, где известные числа выражены буквами. Пусть дано уравнение
ax + b = 0.
Мы можем левую часть этого уравнения, т. е. двучлен ax + b, рассматривать, как общий вид линейного двучлена: ведь мы можем написать множество различных линейных двучленов, например, 3x + 4, 5x – 2, –3x + 7, x + 1, x – 3 и т. д. – все их можно подвести под общую формулу ax + b, так как, давая буквам a и b различные значения, мы будем получать различные линейные двучлены (так, если a = +3 и b = +4, то получится первый двучлен 3x + 4, если взять a = +1 и b = –3, то получится последний двучлен x – 3 и т. д.).
Поэтому примем, что в уравнении ax + b = 0 буквы a и b выражают известные числа, а буква x — неизвестное число. Тогда мы решим наше уравнение по тому же плану, как это делали выше:
1) перенесем известный член +b в правую часть:
ax = –b
2) разделим обе части уравнения на коэффициент при x, т. е. на –a получим:
x = –b/a.
Еще пример:
ax + b = cx + d
(буквы a, b, c и d выражают известные числа).
Перенесем неизвестные члены влево, а известные вправо:
ax – cx = d – b.
Необходимо теперь сделать так, чтобы в левой части уравнения оказался бы лишь один неизвестный член. Этого можно достигнуть вынесением множителя x за скобки:
x(a – c) = d – b
Разделим теперь обе части уравнения на коэффициент при x, т. е. на множитель (a – c) члена x(a – c) — этот множитель ведь выражает известное число; тогда и получим решение нашего уравнения:
x = (d – b) / (a – c).
Пример 3.
(a – x) / b = (b – x) / a
Уравнение имеет форму пропорции. Поэтому
a(a – x) = b(b – x)
или
a2 – ax = b2 – bx.
Перенося неизвестные члены влево, а известные вправо, получим:
bx – ax = b2 – a2.
Отсюда
x(b – a) = b2 – a2
и
x = (b2 – a2) / (b – a).
Вспоминая, что b2 – a2 = (b + a)(b – a), мы можем сократить полученную дробь, и тогда
x = b + a.
Пример 4.
(x – 3a) / (x – a – b) = b / 2a
Уравнение имеет форму пропорции. Решение таково:
2a(x – 3a) = b(x – a – b),
2ax – 6a2 = bx – ab – b2,
2ax – bx = 6a2 – ab – b2,
(2a – b)x = 6a2 – ab – b2,
x = (6a2 – ab + b2) / (2a – b).
Попробуем разделить многочлен 6a2 – ab + b2 на многочлен 2a – b
Поэтому имеем окончательно:
x = 3a + b.