Мы умеем выполнять умножение и деление арифметических дробей, например:
если буквы a, b, c и d обозначают арифметические целые числа.
Возникает вопрос, не остаются ли в силе эти равенства, если a, b, c и d будут обозначать: 1) какие-нибудь арифметические числа и 2) любые относительные числа.
Прежде всего придется рассмотреть сложные дроби, например:
Этих примеров уже достаточно, чтобы убедиться в справедливости равенств, относящихся к умножению и делению дробей, когда числа a, b, c и d какие угодно (целые или дробные) арифметические. Заметим, что основных равенств лишь 2, а именно:
Остается теперь рассмотреть, останутся ли справедливыми эти равенства, если некоторые из чисел a, b, c и d предположить отрицательными: если, например, a отрицательное число, b, c и d – положительные, то дробь отрицательна, а дробь положительна; поэтому, например, от деления на должно получиться отрицательное число, но мы видим, что, согласно нашему предположению, и выражение должно выразить отрицательное число, т. е. равенство оправдывается и в этом случае. Легко также рассмотреть и другие предположения для знаков числе a, b, c и d. Результатом этого рассмотрения является убеждение в справедливости равенств
и для случая, когда a, b, c и d выражают любые относительные числа, т. е. для умножения и деления алгебраических дробей остаются в силе те же правила, как и для арифметических.
Теперь мы можем выполнять умножение и деление алгебраических дробей. Наибольшие затруднения представляет здесь вопрос о сокращении дробей, получаемых после умножения или деления. Если алгебраические дроби одночленные, то сокращение полученного результата не представит затруднений, а если дроби алгебраические, то является необходимым предварительно числителя и знаменателя каждой из данных дробей разлагать на множители.
Примеры: