70. Свойства пропорций. К тем сведениям о пропорциях, какие даны в п. 51, мы теперь можем присоединить ряд других.
Пусть имеем пропорцию
a : b = c : d.
Мы знаем ее свойство «произведение крайних членов равно произведению средних», т. е.
ab = bc (1)
Разделим обе части последнего уравнения на cd, - получим:
a/c = b/d или a : c = b : d
Сравнивая эту пропорцию с начальною, мы приходим к заключению, что в пропорции можно переставлять ее средние члены.
Разделив обе части уравнения (1) на ab, получим:
d/b = c/a или d : b = c : a,
т. е. (сравнивая с начальною пропорциею) в пропорции можно переставлять ее крайние члены.
В последней пропорции, согласно выясненному выше, опять можно переставить средние члены, - получим:
d : c = b : a,
т. е. (сравнивая эту пропорцию с начальною) в пропорции можно переставлять и крайние и средние члены.
Мы можем затем в начальной пропорции написать 2-е отношение на месте первого и обратно, - получим еще пропорцию:
c : d = a : b.
В этой пропорции мы можем: 1) переставлять средние члены
c : a = d : b,
2) переставлять крайние члены
b : d = a : c
и 3) переставлять и крайние и средние члены
b : a = d : c
Таким образом мы можем из каждой данной пропорции получить перестановками членов еще 7 пропорций:
a : b = c : d
a : c = b : d
d : b = c : a
d : c = b : a
c : d = a : b
c : a = d : b
b : d = a : c
b : a = d : c.