64. Три уравнения с тремя неизвестными. Пусть теперь требуется решить совместно 3 уравнения с тремя неизвестными:
3x + 2y – 5z = 8
x + 3y – 2z = 9
4x + 5y – 6z = 26.
Вспоминая все предыдущее, мы уже заранее вправе думать, что здесь произвольные значения ни одному из неизвестных давать нельзя и что здесь найдем единственное решение (по одному числу для каждого неизвестного).
При этом для нас уже намечен путь, как этого достигнуть. В предыдущем п. мы научились из двух уравнений с тремя неизвестными определять два неизвестных через третье. Выберем из наших трех уравнений те два, которые кажутся нам наиболее простыми, напр., 1-е и 2-ое:
3x + 2y – 5z = 8
x + 3y – 2z = 9
и из них определим x и y через z
Подставим теперь полученные выражения для x – a и для y – a в третье уравнение, - получим:
(4(6 + 11z)) / 7 + (5(19 + z)) / 7 – 6z = 26
т. е. получили одно уравнение с одним неизвестным z, которое умеем решить. Сначала освободим его от дробей, для чего обе части его умножим на 7.
4(6 + 11z) + 5(19 + z) – 42z = 182.
Раскроем скобки
24 + 44z + 95 + 5z – 42z = 182.
Перенесем известные члены вправо и сделаем приведение подобных членов:
7z = 63, откуда z = 9.
Теперь из формул (1) и (2) получим:
x = (6 + 11 · 9) / 7 = 15 и y = (19 + 9) / 7 = 4.
Еще пример:
2x + 3y = 11
5y + 2z = 3
4z + 3x = 66
Определим из первых двух уравнений 2 неизвестных через третье: мы именно видим, что можно из первого уравнения определить x через y и из второго определить z через y:
x = (11 – 3y) / 2 и z = (3 – 5y) / 2.
Подставим полученные выражения в третье уравнение на место z и x:
(4(3 – 5y)) / 2 + (3(11 – 3y)) / 2 = 66.
Отсюда получим:
4(3 – 5y) + 3(11 – 3y) = 132
или
12 – 20y + 33 – 9y = 132
или
–29y = 87,
откуда
y = –3.
Тогда
x = (11 – 3 · (–3)) / 2 = 10
z = (3 – 5 · (–3)) / 2 = 9.
В этих двух примерах мы держались следующего плана; выбираем из данных трех уравнений какие-либо два, более удобных, и из них определяем два неизвестных через третье, – полученные выражения мы подставляем на место этих неизвестных в третье уравнение.
Возможны и иные планы. Поясним их на следующих примерах:
1. 3x – 4y + 3z = 19
4x – 6y + z = 22
7x – 18y = 33.
Мы видим, что в третье уравнение входят только 2 неизвестных, x и y. Поэтому постараемся получить из первых двух уравнений с тремя неизвестными новое уравнение с двумя неизвестными, а именно: также с x и y, - тогда мы будем иметь два уравнения с двумя неизвестными, которые умеем решать. Для этой цели исключим способом уравнивания коэффициентов из первых двух уравнений неизвестное z, для чего 1-ое уравнение оставим без изменения, а обе части второго умножим на –3. Получим:
3x – 4y + 3z = 19
–12x + 18y – 3z = –66.
Сложив по частям эти уравнения, получим:
–9x + 14y = –47
или
9x – 14y = 47.
Присоединим сюда еще третье из данных уравнений и решим их совместно способом уравнивания коэффициентов:
Подставляя это значение x – a в уравнение
9x – 14y = 47,
получим
54 – 14y = 47,
откуда
14y = 7 и y = ½
Подставляя полученные для x и для y значения в простейшее из данных уравнений, а именно в уравнение
4x – 6y + z = 22,
получим
24 – 3 + z = 22,
откуда
z = 1.
2. 3x + 5y – 9z = 29
5x + 2y – 6z = 17
4x – 10y + 3z = 17
Наметим следующий план: выберем сначала 2 из этих трех уравнений и из них способом уравнивания коэффициентов получим одно уравнение с двумя неизвестными; затем выберем вторую пару уравнений из данных и из них тем же способом получим второе уравнение с теми же двумя неизвестными. Применяясь к данным уравнениям, удобно будет выполнить этот план в следующем порядке: 1) возьмем 1-ое и 2-ое уравнение и из них, исключив способом уравнивания коэффициентов y, получим одно уравнение с x и z; 2) возьмем 1-ое и 3-е уравнения и из них также исключим y и получим второе уравнение с неизвестными x и z; 3) решим полученные 2 уравнения с неизвестными x и z также способом уравнения коэффициентов.
4) Подставим полученное для x значение в уравнение
2x – 3z = 15.
Получим:
–6 – 3z = 15 или 3z = –21 и z = –7.
Подставим полученные для x и z значения в уравнение
5x + 2y – 6z = 17.
Получим:
–15 + 2y + 42 = 17
или
2y = –10 и y = –5.
3. 4x – 2y + z = 4
5x + 3y – z = 11
3x + 7y – 2z = 7
Составим следующий план: 1) из первого уравнения определим z через x и y; 2) полученное выражение подставим на место z во 2-ое и в 3-е уравнения, – получим два уравнения с двумя неизвестными, а именно — с x и y; 3) решим полученные два уравнения.
1) z = 4 – 3x + 2y,
2) 5x + 3y – (4 – 3x + 2y) = 11
3x + 7y – 2(4 – 3x + 2y) = 7
Упростим каждое из этих уравнений:
1-ое: 5x + 3y – 4 + 3x – 2y = 11 или 8x + y = 15.
2-ое: 3x + 7y – 8 + 6x – 4y = 7 или 9x + 3y = 15 или 3x + y = 5.
3) Вычтем по частям из 1-го уравнения второе:
8x + y = 15
3x + y = 5
–-----------
5x = 10, откуда x = 2.
4) Подставим полученное для x значение в уравнение
3x + y = 5.
Получим
6 + y = 5,
откуда
y = –1.
Подставим эти значения x – a и y – a в выражение для z:
z = 4 – 3x + 2y.
Тогда
z = 4 – 6 – 2 = –4.